A Hybrid Hyperquadric Model for 2-D and 3-D Data Fitting

We present in this paper a new curve and surface implicit model. This implicit model based on hyperquadrics allows a local and global control of the shape and a wide variety of allowable shapes. We deene a hybrid hyperquadric model by introducing implicitly some local properties on a global shape model. The advantage of our model is that it describes global and local properties through a unique implicit equation yielding a representation of the shape by means of its parameters, independently of the chosen numerical resolution. The data tting is obtained through the minimization of an energy, modelling the attraction to data independently of the implicit description of the shape. After studying the geometry of hyperquadrics and how the shape deforms when we modify slightly its implicit equation, we are able to deene an algorithm for automatic reening of the t by adding an adequate term to the implicit representation. This geometric approach allows an eecient description of the data points and an automatic tuning of the t according to the desired accuracy. Approximation de donn ees 2-D et 3-D a l'aide d'hyperquadriques hybrides R esum e : Nous pr esentons dans ce rapport un nouveau mod ele de courbes et surfaces implicites. Ce mod ele est bas e sur les hyperquadriques permet un contr^ ole local et global de la forme et mod elise une grande vari et e de formes. Ce mod ele d'hyperquadriques hybrides est d eeni en introduisant d'une mani ere implicite quelques propri et es locales dans une repr e-sentation globale. Un des avantages de ce mod ele consiste en la repr esentation de propri et es locales et globales par une equation implicite permettant de caract eriser la forme de l'objet par l'interm ediaire des param etres du mod ele independemment de la r esolution num erique. L'approximation des donn ees est obtennue par la minimisation d'une energie mod elisant une force d'attraction independement de la description implicite de la forme. Apr es avoir examin e les propri et es g eom etriques des hyperquadriques et l' evolution de la forme par rapport aux param etres du mod ele, nous avons d eeni un algorithme permettant d'am eliorer l'approximation des donn ees en rajoutant des termes a la repr esentation impli-cite. Cette approche g eom etrique permet une description able de donn ees et un contr^ ole du nombre de param etres en fonction …